Vergelyking - wat is dit? Definisie, voorbeelde

In die loop van die skool van wiskunde, die kind hoor eers die term "vergelyking". Wat is dit, probeer om saam te verstaan. In hierdie artikel kyk ons na die tipes en metodes van die oplossing.

Wiskunde. vergelyking

Om mee te begin aanbied om te gaan met die hele idee van wat dit is? Soos in baie handboeke van wiskunde, die vergelyking - dit is 'n paar van die uitdrukkings tussen wat jy beslis moet teken van gelykheid. In hierdie uitdrukkings is daar briewe, die sogenaamde veranderlike, die waarde van wat en moet gevind word.

Wat is 'n veranderlike? Hierdie stelsel kenmerk wat die waarde daarvan verander. 'N Goeie voorbeeld van die veranderlikes is:

• temperatuur lug;
• groei van die kind;
• gewig en so aan.

In wiskunde, is hulle deur briewe, soos x, a, b, c aangewese ... Gewoonlik is die taak van wiskunde is soos volg: vind die waarde vergelyking. Dit beteken dat jy nodig het om die waarde van hierdie veranderlikes te vind.

spesies

Die vergelyking (dit is, ons in die vorige paragraaf bespreek) kan van die volgende vorm wees:

• lineêre;
• vierkante;
• kubieke;
• algebraïese;
• transendentale.

Vir meer inligting oor alle vorme leer, oorweeg elkeen afsonderlik.

lineêre vergelyking

Dit is die eerste soort, wat skoolkinders te vergewis. Hulle besluit redelik vinnig en maklik. So, die lineêre vergelyking, wat is dit? Hierdie uitdrukking van die vorm: S = c. So nie baie duidelik, so gee ons 'n paar voorbeelde: 2 = 26; 5x = 40; 1.2x = 6.

Kom ons kyk na die voorbeelde van vergelykings. Om dit te doen wat ons nodig het om al die bekende data in te samel aan die een kant, en, onbekend aan die ander: x = 26/2; x = 40/5; x = 6 / 1.2. Daar is gebruik die basiese reëls van wiskunde: 'n * c = e, hierdie c = e / a; a = e / s. Met die oog op die oplossing van die vergelyking te voltooi, ons een aksie (in hierdie geval, afdeling) x = 13 uit te voer; x = 8; x = 5. Dit was die voorbeelde in vermenigvuldiging nou sigbaar in die aftrek en toevoeging: x + 3 = 9; 5-10X = 15. Bekend data oorgedra word in een rigting: x = 9-3; x = 20/10. Ons voer laaste aksie: x = 6; x = 2.

Ook variante is moontlik lineêre vergelykings, waar meer as een veranderlike: 2x-2y = 4. Ten einde op te los, is dit nodig om elke deel 2y voeg, kry ons 2x-2y + 2y = 4-2u, soos ons gesien het, aan die linkerkant van die gelyk teken en -2u + 2y verminder, dus ons gelaat met: 2x = 4 -2u. Die finale stap verdeel elke deel van die twee, kry ons die antwoord: X is twee minus y.

Probleme met die vergelykings voorkom selfs in die Rhind Mathematical Papyrus. Dit is een van die probleme: die aantal en die vierde deel gee 'n totaal van 15. Om hierdie probleem wat ons skryf die volgende vergelyking op te los: X plus een vierde X gelyk aan vyftien. Ons sien nog 'n voorbeeld van 'n lineêre vergelyking vir die totale oplossings, kry ons die antwoord: x = 12. Maar hierdie probleem opgelos kan word in 'n ander manier, naamlik, die Egiptiese, of soos dit genoem word in 'n ander manier, 'n manier van spekulasie. In die papirus gebruik die volgende oplossing: neem vier en 'n kwart van dit, dit is een. In som, hulle gee vyf, vyftien is nou verdeel word deur die som, kry ons drie, die laaste aksie van drie vermenigvuldig met vier. Ons kry die antwoord: 12. Hoekom is ons in die hantering van vyftien gedeel deur vyf? So vind ons uit hoeveel keer vyftien, dit is, is die resultaat van wat ons nodig het om ten minste vyf kry. Op hierdie manier, ons die probleme opgelos in die Middeleeue, dit is die metode van valse posisie genoem te word nie.

kwadratiese vergelykings

Behalwe die voorheen bespreek voorbeelde, is daar ander. Watter? Kwadratiese vergelyking, wat is dit? Hulle het die vorm ax ² + bx + c = 0. Om dit op te los, moet jy jouself vertroud te maak met 'n paar van die konsepte en reëls.

In die eerste plek, moet jy die diskriminant van die formule te vind: b ² -4ac. Daar is drie maniere om die uitkoms te los:

• diskriminant is groter as nul;
• minder as nul;
• nul.

In die eerste weergawe kan ons antwoord kry van twee wortels, wat volgens die formule: -b + 'n wortel van die diskriminant gedeel deur twee keer die eerste koëffisiënt, dit wil sê 2a.

In die tweede geval, die wortels van die vergelyking is daar. Die derde geval is die wortel van die formule: -b / 2a.

Kyk na die voorbeeld van 'n kwadratiese vergelyking vir 'n meer gedetailleerde kennis: drie X vierkant minus veertien X minus vyf gelyk is aan nul. Om mee te begin, soos hierbo geskryf, soek diskriminant, in ons geval is dit gelyk aan 256. Let daarop dat die gevolglike aantal groter as nul, dus moet ons reaksie wat bestaan uit twee wortels te kry. Plaasvervanger verkry in die diskriminant formule om die wortels. As gevolg hiervan, het ons: X is gelyk aan vyf en minus een-derde.

Spesiale gevalle in kwadratiese vergelykings

Dit is voorbeelde waarin sommige van die waardes is nul (a, b of c), en moontlik nog baie meer.

Byvoorbeeld, kyk na die volgende vergelyking, wat is 'n vierkant, twee X kwadraat gelyk aan nul is, hier sien ons dat b en c is gelyk aan nul. Kom ons probeer om dit op te los, vir wat beide kante van skeiding deur twee, ons het: x ² = 0. As gevolg hiervan, kry ons x = 0.

Nog 'n geval is 16x ² = 0 -9. Hier, net die b = 0. Ons los die vergelyking, die koëffisiënt van die vrye oordrag na die regterkant: 16 x ² = 9, is nou elke deel is gedeel deur sestien x ² = 9/16. Aangesien ons x kwadraat, kan die vierkantswortel van 9/16 óf negatief of positief wees. Die antwoord is as volg geskryf: X is gelyk aan plus / minus drie kwartale.

Moontlik en hierdie antwoord, soos die wortels van die vergelyking nie. Kom ons kyk na die volgende voorbeeld: 5 × ² + 80 = 0, waar b = 0. Met die oog op die konstante term te los versprei na die regte kant, nadat hierdie stappe, kry ons: 5x ² = -80, en nou elke deel is gedeel deur vyf: x ² = minus sestien. Indien enige aantal vierkantig, die negatiewe waarde kry ons. Op hierdie ons antwoord is: by die wortels van die vergelyking is daar.

ontbinding drieterm

deur kwadratiese vergelykings taak mag klink in 'n ander manier: om die kwadratiese drieterm ontbind in faktore. Dit kan gedoen word deur die gebruik van die volgende formule: 'n (x-x ₁₎ (x-x _2). Vir hierdie, as in ander verwysing verpersoonliking, is dit nodig om 'n diskriminant vind.

Kyk na die volgende voorbeeld: 3x ² -14h-5, ontbind op mnozheteli drieterm. Vind die diskriminant met behulp van die reeds bekende formule, is dit bevind word 256. Nou daarop dat 256 is groter as nul, dus die vergelyking sal twee wortels het. Vind hulle, soos in die vorige paragraaf, ons het: x = minus vyf en 'n derde. Ons gebruik die formule vir die ontbinding van die drieterm op mnozheteli: 3 (x-5) (x + 1/3). In die tweede hakie het ons 'n gelyk teken, want die formule is die moeite werd minus teken, en die wortel ook negatief is, met behulp van 'n basiese kennis van wiskunde, in die bedrag het ons 'n plus-teken. Vir eenvoud, ons vermenigvuldig die eerste en die derde kwartaal van die vergelyking om ontslae te raak van breuke: (x-5) (x + 1).

Vergelykings herleibaar na die vierkant

In hierdie afdeling leer ons hoe om meer komplekse vergelykings op te los. Ons begin dadelik met 'n voorbeeld:

(X ² - 2x) ² - 2 (x ² - 2x) - 3 = 0. Ons kan sien herhalende items: (x ² - 2x), gerieflik om ons vir oplossings om dit te vervang met 'n ander veranderlike, en dan los die gewone kwadratiese vergelyking, onmiddellik daarop te let dat in hierdie taak ons vier wortels te kry, dit moet nie jou af te skrik. die herhaling veranderlike en aan te dui. Ons kry 'n ² 2A-3 = 0. Ons volgende stap - is om 'n nuwe diskriminant vergelyking vind. Ons kry 16, vind ons twee wortels: minus een en drie. Ons onthou dat ons het vervanging, vervang hierdie waardes, as 'n gevolg, ons het die vergelyking: x ² - 2x = -1; x ² - 2x = 3. Hulle op te los in die eerste reaksie: x is een, die tweede: x is minus een en drie. Skryf die antwoord as volg: plus / minus een en drie. Gewoonlik word die antwoord geskryf in stygende volgorde.

kubieke

Kom ons kyk na 'n ander opsie. Dit gaan oor kubieke vergelykings. Hulle het die vorm: byl ³ + bx ² + cx + d = 0. Voorbeelde van vergelykings ons kyk verder, en om te begin met 'n bietjie teorie. Hulle kan drie wortels het, as daar 'n formule om die diskriminant van 'n kubieke vergelyking.

Oorweeg hierdie voorbeeld: 3 + ³ 4 ² + 2 = 0. Hoe om dit op te los? Om dit te doen, ons neem net uit die tussen hakies x: x (3 + ² 4 + 2) = 0. Al wat ons moet doen - is om die wortels van die vergelyking te bereken in die hakies. Die diskriminant van die kwadratiese vergelyking in die hakies is minder as nul, op grond hiervan, het 'n wortel uitdrukking: x = 0.

Algebra. vergelyking

Gaan na die volgende gesig. Nou is ons kortliks kyk na die algebraïese vergelyking. Een van die take is soos volg: die metode van groepering versprei op mnozheteli 3 ⁴ 2 + ³ + 8 × ² + 2 + 5. Die mees geskikte metode is die volgende groep: (3 + ⁴ 3 ²⁾ + (2 x ³ + 2) + (5 × ² 5). Let daarop dat die 8 × ² van die eerste uitdrukking het ons aangebied as die som van 3 en ² 5x ^2. Nou neem ons uit elk van die hakies 3 gemene faktor ² (x2 + 1) 2 + (x ² 1) 5 ⁽² x 1). Ons sien dat ons 'n gemeenskaplike faktor: X kwadraat plus een, om dit te maak uit die tussen hakies: (1 x ²⁾ (3 ² + 2 + 5). Verdere ontbinding is nie moontlik nie, aangesien beide vergelykings het negatiewe diskriminant.

transendentale vergelykings

Bied om te gaan met die volgende tipe. Hierdie vergelyking, wat transendentale funksies, naamlik, logaritmiese, trigonometriese of eksponensiële bevat. Voorbeelde: 6sin ² x + tgx-1 = 0, x + 5lgx = 3 en so aan. Hoe dit opgelos is, sal jy leer uit trigonometrie.

funksie

Die finale fase van die konsep, oorweeg die vergelyking funksie. In teenstelling met vorige weergawes, kan hierdie tipe nie opgelos word, en die grafiek is gebaseer op dit. Vir hierdie vergelyking is die moeite werd om te analiseer, om al die nodige punte kry vir die bou, bereken die maksimum en minimum punte.