Cramer se reël en die toepassing daarvan

Cramer se reël - is een van die presiese metodes vir die oplos van stelsels lineêre algebraïese vergelykings (Slough). Die akkuraatheid te danke aan die gebruik van die determinante van die stelsel matriks, asook 'n paar van die opgelê in die bewys van die stelling beperkings.

'N Stelsel van lineêre algebraïese vergelykings met koëffisiënte wat deel uitmaak van, byvoorbeeld, 'n pluraliteit van R - reële getalle van onbekendes x1, x2, ..., xn is 'n versameling van uitdrukkings

AI2 x1 + AI2 x2 + ... ain xn = aanrnerking met i = 1, 2, ..., m, (1)

waar aij, bi - reële getalle. Elkeen van hierdie uitdrukkings genoem 'n lineêre vergelyking, aij - koëffisiënte van die onbekendes, bi - onafhanklike koëffisiënte van vergelykings.

oplossing van (1) verwys word na N-dimensionele vektor x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), waarteen vervanging in die stelsel vir die onbekendes x1, x2, ..., xn, elk van die lyne in die stelsel raak beste vergelyking .

Die stelsel staan bekend as konsekwent as dit het ten minste een oplossing, en teenstrydig, as dit val saam met die oplossing stel die leë versameling.

Dit moet onthou word dat ten einde oplossings vir stelsels lineêre vergelykings met behulp van die metode van Cramer vind, matrix stelsels vierkante te wees, wat basies beteken dieselfde aantal onbekendes en vergelykings in die stelsel.

So, om Cramer se metode te gebruik, moet jy ten minste weet wat die Matrix is 'n stelsel van lineêre algebraïese vergelykings, en dit uitgereik is. En tweedens, om te verstaan wat die determinant van die matriks en sy eie vaardighede van berekening genoem.

Kom ons neem aan dat hierdie kennis wat jy besit. Wonderlik! Dan moet jy net onthou formules bepaal Kramer metode. Om te vereenvoudig memorisering gebruik die volgende notasie:

• Det - die belangrikste determinant van die matriks van die stelsel;

• děti - is die bepaler van die matriks verkry vanaf die primêre oorsig van die stelsel deur die vervanging van i-de kolom van die matriks om 'n kolom vektor waarvan die elemente is die regte kante van lineêre algebraïese vergelykings;

• N - die aantal onbekendes en vergelykings in die stelsel.

Dan Cramer se reël berekening i-de komponent xi (i = 1, .. n) n-dimensionele vektor x geskryf kan word as

xi = děti / Det, (2).

In hierdie geval, Det streng anders as nul.

Die uniekheid van die oplossing van die stelsel wanneer dit gesamentlik deur die ongelykheid toestand van die belangrikste determinant van die stelsel aan nul. Anders as die som van (xi), vierkantig, streng positiewe, dan SLAE 'n vierkantige matriks is infeasible. Dit kan gebeur in die besonder wanneer ten minste een van děti nul.

Voorbeeld 1. Om die drie-dimensionele LAU stelsel met behulp van Cramer se formule op te los.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Besluit. Ons skryf die matriks van die stelsel reël vir reël, waar Ai - is die i-de ry van die matriks.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Kolom gratis koëffisiënte b = (31 Oktober 29).

Die belangrikste stelsel is die bepaler Det
Det = A11 A22 A33 + A12 A23 A31 + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 + 12-12 + 2-10 = -27.

Om die permutasie bereken det1 met behulp van A11 = B1, A21 = b2, A31 = B3. dan
det1 = B1 A22 A33 + A12 A23 B3 + A31 b2 A32 - A13 A22 B3 - b1 A32 A23 - A33 b2 A12 = ... = -81.

Net so, om det2 gebruik vervanging A12 = B1, A22 = b2, A32 = B3 bereken, en daarvolgens, om det3 bereken - A13 = B1, A23 = b2, A33 = B3.
135 - dan kan jy dit det2 = -108, en det3 = nagaan.
Volgens die formules Cramer vind x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Antwoord: x ° = (3,4,5).

Vertrou op die toepaslikheid van hierdie reël, kan die metode van Kramer oplos van stelsels lineêre vergelykings indirek gebruik word, byvoorbeeld, om die stelsel op die moontlike aantal oplossings, afhangende van die waarde van 'n parameter k ondersoek.

Voorbeeld 2. Om te bepaal teen watter waardes van die parameter k ongelykheid | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 het presies een oplossing.

Besluit.
Hierdie ongelykheid, deur die definisie van die module funksie kan slegs uitgevoer word indien beide uitdrukkings is nul gelyktydig. Daarom is hierdie probleem verminder tot die vind van die oplossing van lineêre algebraïese vergelykings

kx - y = 4,
x + ky = -4.

Die oplossing vir hierdie stelsel slegs indien dit is die belangrikste determinant van die
Det = k ^ {2} + 1 is nul. Dit is duidelik dat hierdie toestand tevrede is vir alle reële waardes van die parameter k.

Antwoord: alle reële waardes van die parameter k.

Die doelwitte van hierdie tipe kan ook verminder word baie praktiese probleme in die veld van wiskunde, fisika of chemie.