Fourier-transform. Fast Fourier-transform. Diskrete Fourier-transform

Fourier transformasie - transformasie, assosieer 'n sekere funksie van 'n werklike veranderlike. Hierdie operasie is uitgevoer elke keer as ons sien verskillende klanke. Oor produseer outomatiese "berekening", wat ons kan bewussyn eers ná die ondersoek van die afdeling van hoër wiskunde te vervul. hoor orrel in 'n menslike transformasie bou, waarin die klank (konvensionele vibrasie beweging van deeltjies in 'n elastiese medium, wat voortplant in golf vorm in die vaste stof, vloeistof of gas medium) word in 'n verskeidenheid van opeenvolgende waardes van die volume vlak van skakerings van verskillende hoogtes. Na hierdie, die brein draai die inligting in al die bekende klank.

Wiskundige Fourier-transform

Omskakeling van klankgolwe of ander vibrasie prosesse (deur lig-emissie en oseaan gety en die sterre of sonkrag siklusse) uitgevoer kan word en deur middel van wiskundige metodes. Dus, met behulp van hierdie tegnieke, die funksies kan uitgebrei word deur die instelling van vibrasie prosesse stel sinusvormige komponente, naamlik golwende kurwes wat gaan van 'n minimum tot 'n maksimum en dan weer tot 'n minimum, soos die golf van die see. Fourier transformasie - transformasie funksie wat die fase of amplitude van elke sinusgolf wat ooreenstem met 'n spesifieke frekwensie beskryf. Fase is 'n beginpunt van die kurwe, en die amplitude - van sy hoogte.

Fourier-transform (voorbeelde word in die foto) is 'n baie kragtige instrument wat gebruik word in verskeie velde van die wetenskap. In sommige gevalle, is dit gebruik as 'n oplossing eerder komplekse vergelykings wat die dinamiese prosesse wat onder die invloed van lig, hitte of elektriese energie te kan beskryf. In ander gevalle, dit laat jou toe om gereelde komponente te definieer in komplekse golfvorms, te danke aan hierdie ware om verskillende eksperimentele waarnemings in chemie, medisyne en sterrekunde interpreteer kan word.

historiese inligting

Die eerste persoon wat hierdie metode toe te pas was die Franse wiskundige Zhan Batist Fure. Omskakeling, daarna na hom vernoem is, is oorspronklik gebruik om die hitte geleiding meganisme te beskryf. Fourier sy hele volwasse lewe betrokke is in die studie van die eienskappe van die hitte. Hy het 'n enorme bydrae tot die wiskundige teorie van die bepaling van die wortels van algebraïese vergelykings. Fourier was 'n professor van analise by die Ecole Poly Technique, die Sekretaris van die Instituut van Egiptologie, was die keiser diens, wat 'n opskudding by die tyd van die konstruksie van die pad na Turyn veroorsaak (onder sy leiding is gedreineer van meer as 80 duisend vierkante kilometer van malaria moerasse). Tog het al hierdie aktivisme nie die wetenskaplike wat betrokke is in wiskundige analise stop. In 1802 was dit afgelei van 'n vergelyking wat die voortplanting van hitte in vaste stowwe beskryf. In 1807, wetenskaplike ontdek 'n metode vir die oplossing van hierdie vergelyking, wat bekend geword het as "Fourier-transform".

termiese geleidingsvermoë analise

Navorsers het 'n wiskundige metode om die hitte geleiding meganisme te beskryf. 'N gerieflike voorbeeld, waarin geen probleme in berekening is die voortplanting van hitte-energie deur 'n yster ring, een deel gedompel in 'n brand. Uit te voer eksperimente Fourier rooiwarm deel van die ring en hom begrawe in die fyn sand. Daarna het die temperatuur metings uitgevoer op die teenoorgestelde deel daarvan. Aanvanklik het die hitte verspreiding is onreëlmatige: deel van die ring - koud, en die ander - warm, tussen die sones kan waarneem 'n skerp temperatuurgradiënt. Maar gedurende die hitte verspreiding oor die metaal oppervlak, word dit meer uniform. So, binnekort, hierdie proses neem die vorm van 'n sinusgolf. Eerste grafiek geleidelik verhoog en verlaag ook glad, akkuraat die wette van variasie van die cosinus of sinusfunksie. Golf geleidelik gelyk en as 'n gevolg van die temperatuur word uniform op die hele oppervlak van die ring.

Die skrywer van hierdie metode aanvaar dat die aanvanklike verspreiding is baie onreëlmatige kan ontbind word in 'n aantal basiese sinusgolwe. Elkeen van hulle sal sy fase (aanvanklike posisie) en sy maksimum temperatuur het. So elke sodanige komponent veranderinge van 'n minimum tot 'n maksimum en terug na revolusie te voltooi rondom die ring heelgetal keer. Komponent met 'n tydperk waarin die fundamentele harmoniese genoem word, en die waarde met twee of meer periodes - die tweede en so aan. Byvoorbeeld, 'n wiskundige funksie wat die maksimum temperatuur beskryf, die fase of posisie genoem die Fourier-transform van die verspreiding funksie. Wetenskaplike het 'n enkele komponent wat moeilik is om wiskundige beskrywing, vir maklik om te gebruik gereedskap - rye van sinus en cosinus, in die bedrag van die gee van die aanvanklike verspreiding.

Die kern van die ontleding

Die toepassing van hierdie analise om die omskakeling van hitte verspreiding op die soliede voorwerp, met 'n ringvormige vorm, 'n wiskundige geredeneer dat die verhoging van tydperke van sinusvormige komponente lei tot sy vinnige demping. Dit is duidelik gesien word op die hoof en tweede harmonieke. Die finale temperatuur bereik twee keer die maksimum en minimum waardes in 'n enkele slaag, en in die eerste - net een keer. Dit blyk dat die afstand wat hitte in die tweede harmoniese is die helfte van die kern. Daarbenewens sal die helling van die tweede helfte ook steiler as die eerste wees. Daarom, aangesien 'n meer intense hitte vloed verby weduwee minimale afstand, dan is dit sal harmoniese vier keer vinniger as die belangrikste gedempte, as 'n funksie van tyd. In die volgende die proses sal nog vinniger wees. Wiskundige geglo dat hierdie metode stel ons in staat om die proses van die aanvanklike verspreiding van temperatuur met tyd te bereken.

Call tydgenote

Fourier-transform algoritme is 'n uitdaging om die teoretiese grondslag van wiskunde op daardie tydstip. In die vroeë negentiende eeu, het die meeste prominente wetenskaplikes, insluitende Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre en Biot nie sy bewering dat die temperatuur van die aanvanklike verspreiding in komponente ontbind in die vorm van die fundamentele golf en hoër frekwensie aanvaar. Maar die Akademie vir Wetenskap kan nie die resultate wat verkry is wiskundige ignoreer, en aan hom die prys vir die teorie van hitte geleiding van die wette, sowel as die uitvoer van sy vergelyking met fisiese eksperimente. In die Fourier benadering, die belangrikste beswaar is die feit dat 'n diskontinue funksie voorgestel word deur 'n bedrag van verskeie sinusvormige funksies wat kontinu is. Na alles, hulle beskryf die bars reguit en geboë lyne. Kontemporêre wetenskaplike het nog nooit so 'n situasie, wat ondervind word wanneer die diskontinue funksies beskryf deur 'n kombinasie van deurlopende, soos kwadratiese, lineêre, sine of vertoner. In die geval dat 'n wiskundige reg in sy uitsprake was, moet die som van 'n oneindige reeks van trigonometriese funksies beperk word om die presiese spoed. Terwyl so 'n eis gelyk absurd. Maar, ten spyte van die onsekerheid van sommige navorsers (bv Claude Navier, Sofi Zhermen) verbreed die omvang van navorsing en hulle uit die ontleding van hitte verspreiding. A wiskunde, intussen, het voortgegaan om die vraag of 'n bedrag van verskeie sinusvormige funksies is beperk tot 'n volmaakte weergawe van wie bars ly.

200-jarige geskiedenis

Hierdie teorie ontwikkel het meer as twee eeue, vandag is dit is uiteindelik gevorm. Met die hulp van die ruimtelike of temporale funksies ingebreek sinusvormige komponente wat 'n frekwensie, fase en amplitude hê. Hierdie omskakeling word verkry deur twee verskillende wiskundige metodes. Die eerste van hulle is wat gebruik word in die geval wanneer die bron is 'n kontinue funksie, en die tweede - in die geval waar dit deur 'n pluraliteit van diskrete individuele veranderinge. As die uitdrukking word verkry vanaf waardes, wat by diskrete intervalle word gedefinieer, kan dit verdeel word in verskeie diskrete sinusvormige frekwensies uitdrukkings - van die laagste en dan verdubbel, verdriedubbel, en dies meer bo die fundamentele. Hierdie bedrag is genoem die Fourier-reeks. As die aanvanklike uitdrukking stel die waarde van elke reële getal is, kan dit afgebreek word in verskeie sinusvormige alle moontlike frekwensies. Dit staan bekend as 'n Fourier integrale, en die besluit impliseer 'n transformasie van die integrale funksie. Ongeag van die metode vir die verkryging van transformasie, vir elke frekwensie moet twee getalle aan te dui: amplitude en frekwensie. Hierdie waardes word uitgedruk as 'n enkele komplekse getal. Uitdrukking komplekse veranderlikes teorie saam met Fourier transformasie om berekeninge te doen het toegelaat dat die ontwerp van verskeie elektriese stroombane, die ontleding van meganiese vibrasies, die studie van golfvoortplanting meganisme en 'n ander.

Fourier-transform vandag

Vandag is die studie van hierdie proses kom basies neer op die vind van effektiewe metodes vir die oorgang van funksie om dit te omskep in gedagte terug. Hierdie oplossing is bekend as die direkte en omgekeerde Fourier-transform. Wat beteken dit? Met die oog op die integrale te bepaal en maak 'n direkte Fourier-transform, kan jy wiskundige metodes gebruik, maar jy kan analitiese. Ten spyte van die feit dat wanneer dit gebruik word in die praktyk is daar 'n paar probleme, het die meeste integrale reeds gevind en in wiskundige handboeke geloop. Met die hulp van numeriese metodes kan bereken uitdrukkings, die vorm van wat gebaseer is op die eksperimentele data, 'n funksie waarvan die integrale in die tafels ontbreek, en dit is moeilik om te dink in 'n analitiese vorm.

Voor die koms van rekenaaringenieurswese berekeninge soos transformasies het baie geduld het, wat hulle nodig het handleiding uitvoering van 'n groot aantal van rekenkundige operasies wat afhanklik is van die aantal punte wat die golffunksie beskryf. Om die nedersetting vandag fasiliteer, is daar spesiale programme, toegelaat word om nuwe te implementeer analitiese metodes. So, in 1965, Dzheyms Kuli en Dzhon Tyuki geskep sagteware wat bekend staan as "Fast Fourier Transform" geword. Dit spaar die tyd van die berekening deur die vermindering van die aantal vermenigvuldiging in die ontleding van die kurwe. "Fast Fourier Transform" Die metode is gebaseer op die verdeling van die kurwe in 'n groot aantal uniform monster waardes. Gevolglik is die aantal vermenigvuldiging met die helfte verminder op dieselfde vermindering van die aantal punte.

Die toepassing van die Fourier-transform

Hierdie proses word gebruik in verskeie velde: In getalleteorie, fisika, seinverwerking, kombinatorika, waarskynlikheidsteorie, kriptografie, statistieke, oseanografie, optika, akoestiek, en ander meetkunde. Ryk moontlikhede vir die gebruik daarvan is gebaseer op 'n aantal nuttige funksies, wat geroep is "eienskappe van die Fourier transformasie." Laat ons hulle ondersoek.

1. Die omskakeling funksie is 'n lineêre operator en 'n ooreenstemmende normalisering is unitêre. Hierdie eiendom is bekend as die Parseval stelling, of in die algemene geval, die stelling Plansherelja of Pontrjagin dualisme.

2. Die omskakeling is omkeerbaar. Verder het die teenoorgestelde resultaat is wesenlik soortgelyke vorm as in die direkte aanspreek.

3. Die sinusvormige basiese uitdrukkings is hul eie gedifferensieerde funksies. Dit beteken dat so 'n verteenwoordiging verander lineêre vergelykings met konstante koëffisiënte in 'n konvensionele algebraïese.

4. Volgens die "konvolusie" stelling, die proses maak 'n ingewikkelde operasie in elementêre vermenigvuldiging.

5. Diskrete Fourier Transform kan vinnig ontwerp op 'n rekenaar met behulp van die "vinnige" metode.

Variasies van die Fourier-transform

1. Die meeste dikwels die term word gebruik om te verwys na 'n deurlopende transformasie, die verskaffing van enige kwadratisch integreerbare uitdrukking as die som van komplekse eksponensiële uitdrukking met spesifieke hoek frekwensies en amplitudes. Hierdie spesie het 'n paar verskillende vorme, wat nodig mag wees verskillende konstante koëffisiënte. Die deurlopende metode sluit 'n omskakelingstabel, wat kan gevind word in wiskundige handboeke. A veralgemeen geval is die fraksionele bekering, waardeur hierdie proses kan opgewek word om die verlangde ware krag.

2. Die deurlopende metode is 'n veralgemening van vroeër tegniek van Fourier-reekse gedefinieer vir enige periodiese funksies of uitdrukkings, wat bestaan in 'n beperkte gebied en hulle verteenwoordig as 'n reeks van sinusgolwe.

3. Diskrete Fourier-transform. Hierdie metode word gebruik in die berekening van wetenskaplike berekening en digitale seinverwerking. Om hierdie tipe berekening uit te voer is nodig om 'n funksie te bepaal op 'n afsonderlike stel individuele punte, periodieke of beperkte streek in plaas van deurlopende Fourier-integrale te hê. Sein omskakeling in hierdie geval is voorgestel as 'n som van sinusgolwe. Die gebruik van "vinnig" metode laat die gebruik van digitale oplossings vir alle praktiese doeleindes.

4. Die venster Fourier-transform is 'n algemene siening van die klassieke metode. In teenstelling met standaard oplossings wanneer die sein spektrum gebruik word, wat in die volle omvang van die bestaan van hierdie veranderlike geneem is van besondere belang hier is net die plaaslike frekwensieverspreiding terwyl die handhawing van die oorspronklike veranderlike (tyd).

5. Die twee-dimensionele Fourier-transform. Hierdie metode word gebruik om te werk met twee-dimensionele skikkings van data. In so 'n geval, is die omskakeling gedoen in een rigting, en dan - in die ander.

gevolgtrekking

Vandag, is die Fourier-metode stewig in die verskillende velde van die wetenskap. Byvoorbeeld, in 1962 dit het die vorm van die DNA-dubbelheliks met behulp van Fourier analise in samewerking met X-straaldiffraksie. Onlangse kristalle gefokus op DNA vesel, wat lei tot 'n beeld wat verkry word deur diffraksie, aangeteken op die film. Hierdie foto het inligting oor die waarde van die amplitude deur gebruik te maak van die Fourier-transform hierdie kristalstruktuur. Fase data wat verkry word deur die vergelyking van die DNA diffraksie kaarte met kaarte wat verkry word in die ontleding van 'n soortgelyke chemiese strukture. As gevolg hiervan, bioloë herstel kristalstruktuur - die oorspronklike funksie.

Fourier-transform 'n groot rol in die studie van die buitenste ruim, die fisika van halfgeleiermateriale en plasma, mikrogolf akoestiek, oseanografie, radar, seismologie en mediese ondersoeke te speel.