Die vergelyking van die vliegtuig: hoe om te maak? Tipes vliegtuig vergelykings

Die vliegtuig ruimte kan gedefinieer word in verskillende maniere (een dot en vektor, die vektor en die twee punte, drie punte, ens). Dit is met hierdie in gedagte, kan die vliegtuig vergelyking verskillende tipes het. Ook onder sekere omstandighede vliegtuig kan wees parallel, loodreg, sny, ens Op hierdie en sal in hierdie artikel praat. Ons sal leer om die algemene vergelyking van die vliegtuig en nie net maak.

Die normale vorm van die vergelyking

Veronderstel R is die ruimte _3, wat 'n vierkantige koördineer stelsel XYZ. Ons definieer 'n vektor α, wat vrygestel sal word vanaf die beginpunt O. Deur die einde van die vektor α trek vliegtuig P wat loodreg op dit.

Dui P op 'n arbitrêre punt Q = (x, y, z). Die radiusvektor van die punt Q brief teken p. Die lengte van die vektor gelyk α p = IαI en Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Dit eenheidsvektor, wat gerig in die rigting as vektor α. α, β en γ - is hoeke wat gevorm word tussen die vektor en die positiewe rigtings Ʋ ruimte byle x, y, onderskeidelik z. Die projeksie van 'n punt op vektor QεP Ʋ is 'n konstante wat gelykstaande is aan p (p, Ʋ) = p (r≥0) is.

Bogenoemde vergelyking is betekenisvol wanneer p = 0. Die enigste N vliegtuig in hierdie geval, sou punt O (α = 0), wat is die oorsprong, en eenheidsvektor Ʋ, vrygestel van die punt O steek sal loodreg op P wees, hoewel sy rigting, wat beteken dat die vektor Ʋ bepaal tot die teken. Vorige vergelyking is ons vliegtuig P, uitgedruk in vektor vorm. Maar in die lig van sy koördinate is:

P is groter as of gelyk aan 0. Ons het die vliegtuig vergelyking in normale vorm gevind.

Die algemene vergelyking

As die vergelyking in die koördinate vermeerder deur enige getal wat nie gelyk aan nul, kry ons die vergelyking gelyk aan dié wat die heel vliegtuig definieer. Dit sal die volgende vorm hê:

Hier, A, B, C - is die aantal gelyktydig anders as nul. Hierdie vergelyking is bekend as die vergelyking van die algemene vorm van die vliegtuig.

Die vergelykings van die vliegtuie. spesiale gevalle

Die vergelyking kan in die algemeen verander met bykomende voorwaardes. Oorweeg 'n paar van hulle.

Neem aan dat die koëffisiënt A is 0. Dit dui daarop dat die vliegtuig parallel met die voorafbepaalde as Os. In hierdie geval, die vorm van die vergelyking verander: Wu + Cz + D = 0.

Net so sal die vorm van vergelyking en wissel met die volgende voorwaardes:

• Eerstens, indien B = 0, die vergelyking veranderings aan Byl + Cz + D = 0, wat die parallelisme om die as Oy sou aandui.
• In die tweede plek, as C = 0, die vergelyking is omskep in ax + by + D = 0, dit wil sê sowat parallel met die voorafbepaalde as Oz.
• Derdens, as D = 0, sal die vergelyking lyk as ax + by + Cz = 0, wat sou beteken dat die vliegtuig sny O (die oorsprong).
• Vierde, as A = B = 0, die vergelyking veranderings aan Cz + D = 0, wat sal bewys dat parallelisme Oxy.
• Vyfde, indien B = C = 0, word die vergelyking ax + D = 0, wat beteken dat die vliegtuig is parallel aan Oyz.
• In die sesde plek, as A = C = 0, die vergelyking in die vorm Wu + D = 0, dit wil sê, sal aan die parallelisme Oxz rapporteer.

Vorm van die vergelyking in segmente

In die geval waar getalle A, B, C, D anders as nul, die vorm van vergelyking (0) soos volg kan wees:

x / 'n + y / b + z / c = 1,

waarin 'n = -D / A, b = -D / B, C = -D / C.

Ons ontvang as 'n gevolg vergelyking van die vliegtuig in stukke. Daar moet kennis geneem word dat hierdie vliegtuig die x-as sal sny by die punt met koördinate (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), en Oz - (0,0, s).

Gegewe die vergelyking x / 'n + y / b + z / c = 1, is dit nie moeilik om die plasing vliegtuig relatiewe visualiseer 'n voorafbepaalde assestelsel.

Die koördinate van die normaalvektor

Die normale vektor N aan die vliegtuig P het koördinate wat die koëffisiënte van die algemene vergelyking van die vliegtuig, dit wil sê N (A, B, C) is.

Met die oog op die koördinate van die normale N bepaal, is dit voldoende om die algemene vergelyking gegee vliegtuig weet.

By die gebruik van die vergelyking in segmente, wat het die vorm x / 'n + y / b + z / c = 1, as wanneer die gebruik van die algemene vergelyking kan geskryf koördinate van enige normaalvektor 'n gegewe vlak: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Dit sal opgemerk word dat die normaalvektor help om verskeie probleme op te los. Die mees algemene probleme wat bestaan in 'n bewys loodreg of parallel vliegtuie, die taak van die bevinding van die hoeke tussen die vliegtuie of die hoeke tussen die vliegtuie en reguit lyne.

Tik volgens die vliegtuig vergelyking en koördinate van die punt normaalvektor

A-nul vektor N, loodreg op 'n gegewe vlak, die sogenaamde normale (gewone) tot 'n voorafbepaalde vlak.

Veronderstel dat in die koördineer ruimte ( 'n vierkantige koördineer stelsel) Oxyz stel:

• Mₒ punt met koördinate (hₒ, uₒ, zₒ);
• nul vektor N = A * i + B * j + C * k.

Jy moet vergelyking van die vliegtuig wat deur Mₒ punt verby loodreg op die normale N maak.

In die ruimte kies ons 'n arbitrêre punt en dui M (x, y, z). Laat die radiusvektor van elke punt M (x, y, z) sal wees r = x * i + j * j + z * k, en die radiusvektor van 'n punt Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Die punt M sal behoort aan 'n gegewe vlak, as die vektor MₒM loodreg op die vektor N wees. Ons skryf die toestand van ortogonaliteit met behulp van die skalaarproduk:

[MₒM, N] = 0.

Sedert MₒM = r-rₒ, sal die vektor vergelyking van die vliegtuig soos volg lyk:

[R - rₒ, N] = 0.

Hierdie vergelyking kan ook 'n ander vorm. Vir hierdie doel, die eienskappe van die skalaarproduk, en omskep die linkerkant van die vergelyking. [R - rₒ, N] = [r, N] - [rₒ, N]. As [rₒ, N] aangedui as s, kry ons die volgende vergelyking: [r, N] - a = 0 of [r, N] = s, wat die konstantheid van die projeksies op die normaalvektor van die radius-draers van die gegewe punte wat vliegtuig behoort spreek.

Nou kan jy kry die koördineer tipe opname vliegtuig ons vektorvergelyking [r - rₒ, N] = 0. Aangesien r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, en N = A * i + B * j + C * k, ons het:

Dit blyk dat ons die vergelyking gevorm vlak wat deur die punt loodreg op die normale N:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Tik volgens die vliegtuig vergelyking en koördinate van twee punte van die vektor vliegtuig saamlynig

Ons definieer twee arbitrêre punte M (x, y, z) en M "(x", y ", z"), sowel as die vektor (a, 'n ", 'n ‴).

Nou kan ons vergelyking voorafbepaalde vliegtuig wat deur die bestaande punt M en M "gaan, en elke punt met die koördinate M (x, y, z) parallel aan 'n gegewe vektor skryf.

So M'M vektore x = {x ', y-y'; zz '} en M "M = {x" -x ", y' y '; z" -z'} moet saamvlakkige met die vektor wees a = (a, 'n ", 'n ‴), wat beteken dat (M'M M" M, a) = 0.

So ons vergelyking van 'n vliegtuig in die ruimte sal lyk:

Tipe vliegtuig vergelyking, die kruising van drie punte

Kom ons sê ons het drie punte: (x, y, z '), (x, y, z'), (x ‴ Het ‴, z ‴), wat behoort nie aan dieselfde lyn. Dit is nodig om vergelyking van die vlak wat deur die drie gespesifiseerde punte skryf. meetkunde teorie voer aan dat hierdie soort vliegtuig bestaan, is dit net een en enigste. Aangesien hierdie vliegtuig sny die punt (x, y, z '), sy vergelyking vorm sou wees:

Hier, A, B, en C is anders as nul terselfdertyd. Ook gegee vliegtuig sny twee punte (x ", y", z ") en (x ‴, y ‴, z ‴). In hierdie verband moet uitgevoer word hierdie soort toestande:

Nou kan ons 'n eenvormige stelsel skep van vergelykings (lineêr) met onbekendes u, v, w:

In ons geval x, Y of Z staan arbitrêre punt wat vergelyking (1) voldoen. Met inagneming van vergelyking (1) en 'n stelsel van vergelykings (2) en (3) die stelsel van vergelykings aangedui in die bostaande figuur, die vektor bevredig N (A, B, C) wat triviaal. Dit is omdat die determinant van die stelsel is nul.

Vergelyking (1) wat ons het, dit is die vergelyking van die vliegtuig. 3 punt sy regtig gaan, en dit is maklik om te kyk. Om dit te doen, ons brei die determinant van die elemente in die eerste ry. Van die bestaande eiendomme Determinanten volg dat ons vliegtuig gelyktydig sny die drie oorspronklik voorafbepaalde punt (x, y, z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Dus het ons besluit om die taak in die voorkant van ons.

Tweevlakshoek tussen die vliegtuie

Tweevlakshoek is 'n ruimtelike geometriese vorm wat gevorm word deur twee half-vliegtuie wat voortspruit uit 'n reguit lyn. Met ander woorde, deel van die ruimte wat beperk is tot die half-vliegtuie.

Gestel ons het twee vliegtuig met die volgende vergelykings:

Ons weet dat die vektor N = (A, B, C) en N¹ = (¹, H¹, S¹) volgens voorafbepaalde vlakke loodreg. In hierdie verband het die hoek φ tussen vektore N en N¹ gelyke hoek (dihedrale), wat geleë is tussen hierdie vlakke. Die skalaarproduk word gegee deur:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

juis omdat

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (a² + s² + V²)) * (√ (¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Dit is genoeg om dit 0≤φ≤π oorweeg.

Eintlik twee vliegtuie wat sny, vorm twee hoek (dihedrale): φ ₁ en φ _2. Hulle som is gelyk aan π (φ ₁ + φ ₂ = π). Soos vir hul cosinusse, hul absolute waardes is gelyk, maar hulle is verskillende tekens, dit wil sê, cos φ ₁ = -cos φ _2. As in die vergelyking (0) word vervang deur A, B en C van -A, -B en -C onderskeidelik, die vergelyking, ons kry, sal dieselfde vlak te bepaal, die enigste hoek φ in vergelyking cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Dit sal vervang word deur π-φ.

Die vergelyking van die loodregte vliegtuig

Genoem loodreg vliegtuig, tussen wat die hoek is 90 grade. Die gebruik van die materiaal hierbo aangebied, kan ons die vergelyking van 'n vliegtuig te vind loodreg op die ander. Gestel ons het twee vlakke: ax + by + Cz + D = 0, en + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Ons kan sê dat hulle ortogonale as cos = 0. Dit beteken dat NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Die vergelyking van 'n parallel vliegtuig

Dit verwys na twee parallel vliegtuie wat geen punte in gemeen bevat.

Die toestand van parallel vliegtuie (hul vergelykings is dieselfde as in die vorige paragraaf), is dat die vektore N en N¹, wat loodreg op hulle is, saamlynig. Dit beteken dat die volgende voorwaardes voldoen word proporsionaliteit:

A / ¹ = B / C = H¹ / S¹.

As die proporsionele terme word uitgebrei - A / ¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

dit dui daarop dat die data vliegtuig van dieselfde. Dit beteken dat vergelyking ax + by + Cz + D = 0 en + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 beskryf een vliegtuig.

Die afstand vanaf punt om vliegtuig

Gestel ons het 'n vliegtuig P, wat gegee word deur (0). Dit is nodig om die afstand vanaf die punt te vind met koördinate (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Jy moet die vergelyking in die vliegtuig II normale voorkoms om dit te maak bring:

(Ρ, v) = P (r≥0).

In hierdie geval, ρ (x, y, z) is die radiusvektor van ons punt Q, geleë op n p - N is die lengte van die loodregte, wat is vrygestel van die nul punt, v - is die eenheidsvektor, wat gereël in die rigting a.

Die verskil ρ-ρº radiusvektor van 'n punt Q = (x, y, z), wat deel uitmaak van N en die radiusvektor van 'n gegewe punt Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) is so 'n vektor, die absolute waarde van die projeksie van wat op v gelyk is aan die afstand d, wat nodig is om uit te vind van Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) aan P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, maar

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = P (ρ ^0, v).

So dit blyk,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Nou is dit duidelik dat om te bereken die afstand d vanaf ₀ tot Q vliegtuig P, is dit nodig om die normale oog vliegtuig vergelyking gebruik, die verskuiwing na links van p, en die laaste plek van x, y, z plaasvervanger (hₒ, uₒ, zₒ).

So vind ons die absolute waarde van die gevolglike uitdrukking wat nodig is d.

Die gebruik van die parameters van taal, kry ons die voor die hand liggend:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (a² + V² + s²).

As die gespesifiseerde punt Q ₀ is aan die ander kant van die vliegtuig P as die oorsprong, dan tussen die vektor ρ-ρ ⁰ en v is 'n stomphoek, dus:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) p> 0.

In die geval wanneer die punt Q ₀ in samewerking met die oorsprong geleë aan dieselfde kant van die U, die skerphoek is geskep, dit is:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Die gevolg is dat in die eerste geval (ρ ^0, v)> p, in die tweede (ρ ^0, v)

En sy raakvlak vergelyking

Met betrekking tot die vliegtuig na die oppervlak by die raakpunt M º - 'n vliegtuig met alle moontlike raaklyn aan die getrek deur daardie punt op die oppervlak kurwe.

Met hierdie oppervlak vorm van die vergelyking F (x, y, z) = 0 in die vergelyking van die raakvlak raaklyn punt M º (hº, uº, zº) sou wees:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

As die oppervlak is ingestel uitdruklik z = f (x, y), dan is die raakvlak word beskryf deur die vergelyking:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Die kruising van twee vliegtuie

In drie-dimensionele ruimte is 'n koördinaatstelsel (reghoekige) Oxyz, gegewe twee vliegtuie P en P 'wat oorvleuel en nie saamval. Sedert enige vliegtuig, wat in 'n vierkantige koördinaatstelsel gedefinieer deur die algemene vergelyking, ons aanvaar dat n 'en N "word gedefinieer deur die vergelykings A'x + V'u S'z + + D' = 0 en 'n" + B x '+ y met "z + D" = 0. In hierdie geval het ons 'n normale N '(A, B, C') van die vliegtuig P 'en die normale N "(A", B ", C") van die vliegtuig P. As ons vliegtuig nie parallel en nie saamval, dan is hierdie vektore is nie saamlynig. Die gebruik van die taal van wiskunde, ons het hierdie toestand kan geskryf word as: n '≠ n "↔ (A, B, C') ≠ (λ * En", λ * In ", λ * C"), λεR. Laat die reguit lyn wat lê op die kruising P en P ", sal aangedui deur die letter a, in hierdie geval 'n = P '∩ P".

en - 'n lyn wat bestaan uit 'n pluraliteit van punte (algemeen) vliegtuie P en P ". Dit beteken dat die koördinate van enige punt wat aan die lyn 'n, moet gelyktydig bevredig die vergelyking A'x + V'u S'z + + D '= 0 en 'n "x + B' + C y" z + D "= 0. Dit beteken dat die koördinate van die punt 'n bepaalde oplossing van die volgende vergelykings sal wees:

Die gevolg is dat die oplossing (algehele) van hierdie stelsel van vergelykings die koördinate van elkeen van punte op die lyn wat sal optree as die snypunt P en P "sal bepaal, en bepaal 'n lyn in 'n koördinaatstelsel Oxyz (reghoekige) ruimte.