Die som van die hoeke van 'n driehoek. Die stelling op die som van die hoeke van 'n driehoek

Die driehoek is 'n veelhoek met drie kante (drie hoeke). Dikwels is die deel aangedui deur klein letters ooreenstemmende hoofletters, wat oorkant hoekpunte verteenwoordig. In hierdie artikel neem ons 'n blik op hierdie tipe van geometriese vorms, stelling, wat definieer wat gelyk is aan die som van die hoeke van 'n driehoek is.

Tipes grootste hoeke

Die volgende tipes veelhoek met drie hoekpunte:

• skerphoekige, waarin al die hoeke is skerp;
• vierkantige met een regte hoek, die kant vorming dit verwys na die bene, en die span wat die teenoorgestelde is van die hand gesit om die regte hoek word die skuinssy genoem;
• stomp wanneer een hoek is stomp ;
• gelykbenige, wie se twee kante is gelyk, en hulle laterale genoem, en die derde - 'n driehoek met 'n basis;
• gelyksydige met drie gelyke sye.

eienskappe

Ken die basiese eienskappe wat kenmerkend van elke tipe driehoek is:

• oorkant die grootste kant is altyd groter hoek, en omgekeerd;
• gelyk hoeke teenoor die gelyke-grootste party, en omgekeerd;
• in enige driehoek het twee skerphoeke;
• buitenste hoek groter as enige interne hoek nie daaraan grens;
• die som van enige twee hoeke is altyd minder as 180 grade,
• buitehoek gelyk aan die som van die ander twee hoeke, wat nie mezhuyut met hom.

Die stelling op die som van die hoeke van 'n driehoek

Die stelling dat as jy optel al die uithoeke van die geometriese vorm, wat is geleë in die Euklidiese vlak, dan sal hulle volle getal wees 180 grade. Kom ons probeer om hierdie stelling te bewys.

Laat ons 'n arbitrêre driehoek met hoekpunte kmn. Oor die top van M sal hou 'n direkte parallel met die lyn KN (selfs hierdie lyn genoem Euclid). Daar moet kennis geneem punt A sodat die punte K en N gerangskik uit verskillende kante van die lyn MN. Ons kry dieselfde hoek van AMS en MUF, wat, soos die binneland, lê dwars te vorm sny MK in samewerking met 'n direkte CN en MA, wat parallel is. Hieruit volg dat die som van die hoeke van die driehoek, geleë op die hoekpunte van M en N is gelyk aan die grootte van die CMA hoek. Al drie hoeke bestaan uit 'n bedrag gelyk aan die som van die hoeke van KMA en MCS. Sedert die data is binnehoeke relatiewe eensydige parallelle lyne CL en CM MA by sny, hulle som is 180 grade. Dit bewys die stelling.

gevolg

Van die bogenoemde bogenoemde stelling impliseer die volgende uitvloeisel: elke driehoek het twee skerphoeke. Om dit te bewys, laat ons aanvaar dat hierdie geometriese figuur het net een skerphoek. Jy kan ook aanvaar dat nie een van die hoeke is nie skerp. In hierdie geval is dit moet ten minste twee hoeke, die grootte van wat gelyk is aan of groter as 90 grade is. Maar dan is die som van die hoeke groter as 180 grade. Maar dit kan nie wees nie, as volgens die stelling som hoeke van 'n driehoek is gelyk aan 180 ° - nie meer nie, niks minder nie. Dit is wat moes bewys.

Eiendom buite hoeke

Wat is die som van die hoeke van 'n driehoek, wat eksterne is? Die antwoord op hierdie vraag kan verkry word deur die toepassing van een van twee maniere. Die eerste is dat jy nodig het om die som van die hoeke, wat geneem word een by elke hoekpunt, dit wil sê, drie hoeke vind. Die tweede impliseer dat jy nodig het om die bedrag van die ses hoeke vind by die hoekpunte. Om te gaan met die begin van die eerste beliggaming. So, die driehoek bevat ses buitenste hoeke - aan die bokant van elk van die twee. Elke paar het gelyke hoeke tussen hulself, want hulle is vertikale:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Daarbenewens is dit bekend dat die buitenste hoek van 'n driehoek is gelyk aan die som van die twee binneland, wat nie mezhuyutsya met hom. daarom,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Hieruit blyk dit dat die som van die buitehoeke, watter een is geneem deur 'n naby elke hoekpunt gelyk wees om:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Gegewe die feit dat die som van die hoeke gelyk 180 grade, kan dit aangevoer word dat ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Dit beteken dat ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. As die tweede opsie gebruik, sal die bedrag van die ses hoeke dienooreenkomstig groter twee keer wees. Dit wil sê die som van die hoeke van 'n driehoek buite sal wees:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

reg driehoek

Wat gelyk aan die som van die hoeke van 'n reghoekige driehoek is, is die eiland? Die antwoord is, weer, uit Stelling, wat bepaal dat die hoeke van 'n driehoek voeg tot 180 grade. 'N Goeie ons bewering (eiendom) soos volg: in 'n regte driehoek skerp hoeke voeg tot 90 grade. Ons bewys sy geloofwaardigheid. Laat daar gegee driehoek kmn, wat ∟N = 90 °. Dit is nodig om te bewys dat ∟K ∟M = + 90 °.

So, volgens die stelling op die som van die hoeke ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. In hierdie toestand word gesê dat ∟N = 90 °. Dit blyk ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Dit is ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Dit is wat ons behoort te bewys.

In bykomend tot die bogenoemde eienskappe van 'n reghoekige driehoek, kan jy hierdie voeg:

• hoeke, wat teen die bene lê is skerp;
• die skuinssy van die driehoekige groter as enige van die bene;
• die som van die bene meer as die skuinssy;
• been van die driehoek, wat oorkant lê om die hoek van 30 grade, die helfte van die skuinssy, wat gelyk is aan sy half.

As 'n ander eiendom van die geometriese vorm kan onderskei stelling van Pythagoras. Sy voer aan dat in 'n driehoek met 'n hoek van 90 grade (vierkantige), die som van die kwadrate van die bene is gelyk aan die vierkant van die skuinssy.

Die som van die hoeke van 'n gelykbenige driehoek

Vroeër het ons gesê dat 'n gelykbenige driehoek is 'n veelhoek met drie hoekpunte, bestaande uit twee gelyke sye. Hierdie eiendom is bekend geometriese figuur: die hoeke by sy basis gelyk. Laat ons hierdie bewys.

Neem die driehoek kmn, wat is gelykbenig, SC - sy voetstuk. Ons is verplig om dit ∟K = ∟N bewys. So, laat ons aanneem dat MA - kmn is die middelloodlyn van ons driehoek. ICA driehoek met die eerste teken van gelykheid is driehoek MNA. Naamlik, deur hipotese gegee dat CM = NM, MA is 'n algemene newe-, ∟1 = ∟2, want MA - hierdie middelloodlyn. Die gebruik van die gelykheid van die twee driehoeke, kan 'n mens argumenteer dat ∟K = ∟N. Dus, is die stelling bewys.

Maar ons is geïnteresseerd in, wat is die som van die hoeke van 'n driehoek (gelykbenige). Want in hierdie verband is dit nie sy funksies te hê, sal ons begin by die stelling voorheen bespreek. Dit is, ons kan sê dat ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, of 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (as ∟K = ∟N). Dit sal die eiendom nie bewys, as die stelling op die som van die hoeke van 'n driehoek vroeër bewys.

Behalwe die oorweeg eienskappe van die hoeke van 'n driehoek is daar ook so 'n belangrike stellings:

• in 'n gelyksydige driehoek hoogte, wat is verlaag tot die basis, is terselfdertyd die mediaan middelloodlyn van die hoek wat daar bestaan tussen die gelyke sye en die simmetrie van sy voetstuk;
• mediaan (middelloodlyn, hoogte bo seespieël), wat gehou word om die kante van 'n meetkundige figuur, is gelyk.

gelyksydige driehoek

Dit is ook die reg genoem word, is die driehoek, wat gelyk is aan alle partye is. En daarom ook gelyk en hoeke. Elkeen van hulle is 60 grade. Laat ons hierdie eiendom bewys.

Kom ons neem aan dat ons 'n driehoek kmn. Ons weet dat KM = HM = KH. Dit beteken dat, volgens die eiendom van die hoeke geleë aan die voet in 'n gelyksydige driehoek ∟K = ∟M = ∟N. Aangesien, volgens die som van die hoeke van 'n driehoek stelling ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, dan x 3 = 180 ° ∟K of ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. So, is die bewering bewys. Soos gesien uit bogenoemde bewyse gebaseer op bogenoemde stelling, die som van die hoeke van 'n gelyksydige driehoek, as die som van die hoeke van 'n ander driehoek is 180 grade. Weer bewys hierdie stelling is nie nodig nie.

Daar is nog 'n paar eienskappe kenmerkend van 'n gelyksydige driehoek:

• mediaan middelloodlyn hoogte in 'n meetkundige figuur identies, en hul lengte word bereken as (a x √3): 2;
• As hierdie veelhoek omskryf die sirkel, dan sal die radius gelyk aan (a x √3) wees: 3;
• As ingeskrewe in 'n sirkel gelyksydige driehoek, sou sy radius (a x √3) wees: 6;
• gebied van die meetkundige figuur word bereken deur die volgende formule: (a2 x √3): 4.

stomp driehoek

Per definisie, 'n stomphoekige driehoek, een van sy uithoeke is tussen 90 tot 180 grade. Maar gegewe die feit dat die ander twee hoeke van die geometriese vorm skerp, kan dit afgelei word dat hulle nie meer as 90 grade. Daarom is die som van die hoeke van 'n driehoek stelling werk in die berekening van die som van die hoeke in 'n stomp driehoek. Dus, kan ons veilig sê, gebaseer op die bogenoemde stelling dat die som van die stomp hoeke van 'n driehoek is 180 grade. Weereens, beteken dit stelling nie nodig om weer bewys.