Slinger: tydperk en versnelling van formule

Die meganiese stelsel wat bestaan uit 'n wesenlike punt (die liggaam), wat hang op 'n gewig onelastiese filament (sy massa is weglaatbaar in vergelyking met die gewig van die liggaam) in 'n uniform gravitasieveld, bekend as die wiskundige pendulum ( 'n ander naam - die ossillator). Daar is ander vorme van toestelle. In plaas van 'n filament gewig stok gebruik kan word. Slinger kan duidelik openbaar die essensie van baie interessante verskynsel. Wanneer klein amplitude vibrasies van sy beweging harmoniese genoem.

Algemene inligting oor die meganiese stelsel

Die formule van die ossillasie tydperk van die pendulum is geteel Nederlandse wetenskaplike Huygens (1629-1695 gg.). Dit kontemporêre van Isaac Newton was baie lief vir die meganiese stelsel. In 1656 het hy die eerste horlosie met 'n slinger meganisme. Hulle meet die tyd met uiterste presisie vir daardie tyd. Hierdie uitvinding was 'n groot stap in die ontwikkeling van fisiese eksperimente en praktiese aktiwiteite.

As die pendulum is in 'n ewewigsposisie (hang vertikaal), die krag van swaartekrag sal gebalanseer word deur die draad spanning krag. Plat slinger op 'n nie-rekbare garings is 'n stelsel met twee grade van vryheid van kommunikasie. Wanneer die verandering van net een komponent van die verandering van die eienskappe van al sy dele. Byvoorbeeld, as 'n draad word vervang deur 'n stok, dan is hierdie meganiese stelsel is net 1 graad van vryheid. Wat is dan die eienskappe van 'n wiskundige slinger? In hierdie eenvoudige stelsel, onder die invloed van 'n periodieke storing, chaos verskyn. In daardie geval, toe die skorsing punt nie beweeg, en ossilleer n pendulum is daar 'n nuwe ewewigsposisie. As 'n vinnige skommelinge op en af hierdie meganiese stelsel word 'n stabiele posisie "onderstebo." Dit het ook sy naam. Dit staan bekend as die Kapitza slinger.

Die eienskappe van die pendulum

Slinger het baie interessante eienskappe. Almal van hulle is deur die bekende fisiese wette. Die tydperk van ossillasie van die pendulum enige ander hang af van verskeie omstandighede soos die grootte en vorm van die liggaam, die afstand tussen die punt van skorsing en die swaartepunt, gewig verspreiding met betrekking tot hierdie punt. Dit is waarom die definisie van die liggaam hang tydperk is nogal 'n uitdaging. Is baie makliker om die tydperk van 'n eenvoudige slinger, die formule van wat hieronder gegee bereken. As gevolg van die waarneming van hierdie patrone kan ingestel word op soortgelyke meganiese stelsels:

• Indien terwyl die handhawing van dieselfde lengte van die pendulum, hang aan 'n verskeidenheid van baie, die tydperk van die ossillasie kry dieselfde, hoewel hul gewig aansienlik sal verskil. Gevolglik is die tydperk van die pendulum nie afhanklik van die gewig van die vrag.

• As die stelsel begin om te daal in die pendulum is nie te groot nie, maar verskillende hoeke, sal dit wissel met dieselfde tydperk, maar op verskillende amplitudes. Terwyl afwykings vanaf die middelpunt van balans is nie te groot skommelinge in hul vorm sal naby genoeg harmoniese wees. Die tydperk van so 'n pendulum is nie afhanklik van die vibrasie amplitude. Hierdie eiendom van die meganiese stelsel staan bekend as isochronism (in Grieks "Chronos" - tyd "Izosov" - gelyk).

Die tydperk van 'n eenvoudige pendulum

Hierdie syfer verteenwoordig die natuurlike periode van ossillasie. Ten spyte van die komplekse formulering, die proses self is baie eenvoudig. As die lengte van die draad wiskundige slinger L, en die gravitasieversnelling g, hierdie waarde gelyk is:

T = 2π√L / g

Klein tydperk van natuurlike ossillasies in geen manier is nie afhanklik van die massa van die pendulum en die ossillasie amplitude. In hierdie geval, as 'n wiskundige pendulum beweeg met 'n verminderde lengte.

Ossillasies van 'n wiskundige pendulum

Wiskundige slinger ossilleer, wat beskryf kan word deur 'n eenvoudige differensiaalvergelyking:

x + ω2 sin x = 0,

waar x (t) - onbekende funksie (hierdie hoek van defleksie van die laer posisie van balans ten tyde t, uitgedruk in radiale); ω - 'n positiewe konstante wat bepaal word uit die parameters van die pendulum (ω = √g / L, waar g - die versnelling van swaartekrag, en L - die lengte van 'n eenvoudige pendulum (skorsing).

Vergelyking klein ossillasies naby ewewigsposisie (harmoniese vergelyking) soos volg:

x + ω2 sin x = 0

Ossillasie beweging van die slinger

Slinger, wat klein ossillasies maak, beweeg sinusgolf. Tweede orde differensiaalvergelyking voldoen aan al die vereistes en parameters van so 'n beweging. Om die pad wat jy nodig het om die spoed en koördinate, wat later bepaal onafhanklike konstantes stel bepaal:

x = a sin (θ ₀ + ωt),

waar θ ₀ - eerste fase, A - amplitude van ossillasie, ω - sikliese frekwensie bepaal van die bewegingsvergelykings.

Slinger (formule vir groot amplitudes)

Dit meganiese stelsel, uit te voer hul ossillasies met 'n groot amplitude, dit is onderhewig aan meer komplekse verkeer wette. hulle word bereken volgens die formule vir so 'n pendulum:

sin x / 2 = u * sn (ωt / u),

waar sn - sine Jacobi, wat vir u <1 is 'n periodiese funksie, en vir klein u dit val saam met die eenvoudige trigonometriese sine. Die waarde van u word bepaal deur die volgende uitdrukking:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

waar ε = E / ML2 (ML2 - energie van die pendulum).

Bepaling van nie-lineêre ossillasie tydperk van die pendulum deur die volgende formule te gebruik:

T = 2π / Ω,

waar Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - elliptiese integrale, π - 3,14.

die pendulum beweging van die separatrix

Dit is dan separatrix trajek van die dinamiese stelsel, waarin 'n twee-dimensionele fase ruimte. Slinger beweeg op 'n nie-van tyd tot tyd. In die oneindig ver punt van die tyd laat val dit uit die uiterste boonste posisie in die rigting van 'n nul spoed, en dan is dit geleidelik besig. Hy het uiteindelik gestop, terug te keer na sy oorspronklike posisie.

As die amplitude van ossilasie van die slinger nader die getal pi, is dit gesê dat die beweging in die fasevlak is naby aan die separatrix. In hierdie geval, onder die optrede van 'n klein periodieke dryfkrag van die meganiese stelsel vertoon chaotiese gedrag.

In die geval van 'n eenvoudige slinger van die ewewigsposisie met 'n hoek CP plaasvind tangensiaal krag Fτ = -Mg sonde φ swaartekrag. "Min" teken beteken dat die tangensiale komponent gerig in die teenoorgestelde rigting van die rigting van afwyking van die pendulum. Wanneer daar verwys word via slinger verplasing x langs 'n omsendbrief boog met 'n radius L is gelyk aan sy hoekverplasing φ = x / L. Die tweede wet Isaaka Nyutona, wat ontwerp is vir projeksie van die versnelling vektor en sterkte gee die gewenste waarde:

mg τ = Fτ = -Mg sin x / L

Op grond van hierdie verhouding, is dit duidelik dat die pendulum is 'n nie-lineêre stelsel, as 'n krag wat geneig is om terug te keer na sy ewewigsposisie, is nie altyd eweredig aan die verplasing x, 'n sin x / L.

Net vir die wiskundige slinger klein vibrasies voer, dit is 'n harmoniese ossillator. Met ander woorde, dit word 'n meganiese stelsel in staat is om die uitvoering van harmoniese ossillasies. Hierdie benadering is geldig vir byna hoeke 15-20 °. Slinger met groot amplitudes is nie harmonieuse.

Newton se vir klein ossillasies van 'n pendulum

As die meganiese stelsel klein ossillasies voer, sal 2 Newton se wet soos volg lyk:

mg τ = Fτ =-m * g / L * x.

Op grond hiervan, kan ons aflei dat die tangensiale versnelling van 'n eenvoudige pendulum is eweredig aan sy verplasing met die teken "minus". Dit is 'n toestand waar die stelsel word 'n harmoniese ossillator. Module proporsionaliteit faktor tussen die verplasing en die versnelling gelyk aan die vierkant van die hoekfrekwensie:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

Hierdie formule reflekteer die natuurlike frekwensie van klein ossillasies van hierdie tipe van pendulum. Op grond hiervan,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Berekeninge gebaseer op die wet van behoud van energie

Eienskappe ossillerende pendulum bewegings beskryf kan word met die hulp van die wet van behoud van energie. Dit moet in gedagte gehou word dat die potensiële energie van die pendulum in 'n gravitasieveld is:

E = mgΔh = MGL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Volle meganiese energie is gelyk aan die kinetiese en maksimum potensiaal: Epmax = Ekmsx = E

Nadat jy die wet van behoud van energie, die neem van die afgeleide van die links en regs kante van die vergelyking geskryf:

Ep + Ek = konst

Sedert die afgeleide van die konstantes gelyk aan 0 is, dan (Ep + Ek) '= 0. Die afgeleide van die som is gelyk aan die som van die afgeleide:

Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,

dus:

Mg / L * xv + MVA = V (mg / L * x + m α) = 0.

Gebaseer op die laaste formule, vind ons: α = - g / L * x.

Praktiese toepassing van die wiskundige pendulum

Versnelling van vrye val wissel met breedteligging, omdat die digtheid van die kors rondom die planeet nie identies. Waar rotse voorkom met 'n hoër digtheid, sal dit effens hoër wees. Versnelling van wiskundige slinger word dikwels gebruik vir eksplorasie. In sy hulp kyk vir verskillende minerale. Eenvoudig die tel van die aantal ossillasies van 'n pendulum, is dit moontlik om die steenkool of erts op te spoor in die ingewande van die aarde. Dit is te wyte aan die feit dat hierdie hulpbronne het 'n digtheid en gewig van meer as lê onder die los klippe.

Wiskundige slinger gebruik word deur so 'n prominente geleerdes as Sokrates, Aristoteles, Plato, Plutarchus, Archimedes. Baie van hulle het geglo dat die meganiese stelsel die lot en die lewe kan beïnvloed. Archimedes gebruik die wiskundige slinger met sy berekeninge. Deesdae, baie okkultiste en psychics gebruik hierdie meganiese stelsel vir die implementering van sy profesieë, of die soektog na vermiste persone.

Die beroemde Franse sterrekundige en wetenskaplike, Flammarion vir hul navorsing ook gebruik om 'n wiskundige slinger. Hy het beweer dat met sy hulp staat wees om die ontdekking van 'n nuwe planeet, die opkoms van die Tunguska meteoriet, en ander belangrike gebeure te voorspel was hy. Tydens die Tweede Wêreldoorlog in Duitsland (Berlyn) gewerk as 'n gespesialiseerde instituut van die pendulum. Deesdae, so navorsing is nie beskikbaar München Instituut van Para. Sy werk met die slinger die personeel van hierdie instelling genaamd "radiesteziey".