Die basis, kant en vol: hoe om die oppervlakte van 'n piramide te bereken?

Ter voorbereiding vir die eksamen in wiskunde studente moet die kennis van algebra en meetkunde sistematiseer. Ek wil graag al die bekende inligting kombineer, soos hoe om die oppervlakte van 'n piramide te bereken. Verder het vanaf die onderkant en kant gesigte totdat die hele oppervlakte. As die kant gesigte die situasie is duidelik, want dit is driehoeke, die basis is altyd anders.

Hoe om toe die oppervlakte van die basis van die piramide wees?

Dit kan nogal 'n figuur uit 'n arbitrêre driehoek om die N-gon wees. En hierdie basis, behalwe die verskil in die aantal hoeke, kan reg of verkeerd figuur wees. In die belang van studente take op die eksamen wat net werk met die korrekte syfers in die basis. Daarom sal ons net praat oor hulle.

gelyksydige driehoek

Dit is gelyksydige. Een wat alle partye gelyk is en deur die letter "a" aangewys is. In hierdie geval, is die basis area van die piramide bereken deur die formule:

S = (a ² * √3) / 4.

vierkante

Die formule om te bereken die area is die eenvoudigste, is " 'n" - kant is weer:

En S = ^2.

Arbitrêre gereelde N-gon

Aan die kante van die veelhoek dieselfde benaming. Vir die aantal hoeke gebruik Latyns brief N.

S = (N * n ²⁾ / (4 * tg (180º / N)) .

Hoe in die berekening van die oppervlakte van die laterale en volle oppervlak aan te gaan?

Sedert die basis figuur korrek is, dan sal al die gesigte van die piramide is gelyk. Wat elkeen 'n gelykbenige driehoek, aangesien die syrande gelyk. Dan, ten einde die gebied van 'n kant van die piramide te bereken moet formule bestaan uit die som van monomials identies. Die aantal terme bepaal word deur die bedrag van die basis kante.

Die area van 'n gelykbenige driehoek is bereken deur die formule waarin die helfte van die basis produk word vermenigvuldig met die hoogte. Dit hoogte in die piramide genoem apothem. Sy aanwysing - "A". Die algemene formule vir die oppervlakte van die laterale oppervlak is soos volg:

S = ½ P * A, waar P - omtrek van die basis van die piramide.

Daar is tye wanneer dit nie bekend aan die basis kant, maar die syrande is (a) plat en die hoek by die toppunt (α). Dan berus dit gebruik die volgende formule om die laterale oppervlakte van die piramide te bereken:

S = n / 2 tot ² * sonde α.

Taak № 1

Toestand. Vind die totale oppervlakte van die piramide, as sy basis is 'n gelyksydige driehoek met 'n kant van 4 cm en het die waarde √3 apothem cm.

Besluit. Dit moet begin met die berekening van die basisomtrek. Aangesien dit 'n gereelde driehoek, dan is P = 3 * 4 = 12 cm apothem Soos bekend is, kan 'n mens die gebied van die hele laterale oppervlak :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^cm2 onmiddellik ^bereken.

Om die basis driehoek verkry is die waarde van die gebied (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

Om die hele gebied te bepaal moet die twee gevolg waardes vou: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Antwoord. 10√3 ^cm2.

Probleem № 2

Toestand. Daar is 'n gereelde vierhoekige piramide. Die lengte van die basis is gelyk aan 7 mm, die laterale kant - 16 mm. Wat jy nodig het om sy oppervlakte weet.

Besluit. Sedert die poliëder - vierkantige en korrek is, by sy basis is 'n vierkant. Hoor basis area en laterale kante in staat wees om die vierkantige piramide tel. Die formule vir die vierkante is wat hierbo gegee. En ek weet al kant gesigte van die driehoek die. Daarom kan jy Heron se formule gebruik vir die berekening van hul gebiede.

Die eerste berekeninge is eenvoudig en lei tot hierdie nommer: 49 mm ^2. Om die tweede waarde te bereken moet semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 mm. Nou kan ons die oppervlakte van 'n gelykbenige driehoek te bereken: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54.644 mm ^2. Daar is vier driehoeke, sodat die berekening van die finale getalle moet word vermenigvuldig met 4.

Verkry: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^mm2.

Antwoord. 267,576 verlangde waarde van ² mm.

Taak № 3

Toestand. Op 'n gereelde vierhoekige piramide is wat nodig is om die oppervlakte te bereken. Dit is bekend kant van die vierkant - 6 cm en hoogte - 4 cm.

Besluit. Die maklikste manier om die formule te gebruik om die produk van die omtrek en apothem. Die eerste waarde is eenvoudig gevind. Die tweede 'n bietjie harder.

Ons sal maar moet die stelling van Pythagoras onthou en oorweeg 'n regte driehoek. Dit word gevorm deur die hoogte van die piramide en apothem, wat is die skuinssy. Die tweede been is die helfte van die kant van die vierkant, as 'n poliëder hoogte val in die middel daarvan wees.

Bevoordeel apothem (die skuinssy van 'n reghoekige driehoek) is gelyk aan √ ⁽² Maart + 4 ²⁾ = 5 (cm).

Nou is dit moontlik om die verlangde waarde te bereken: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 (cm ^2).

Antwoord. 96 cm ^2.

Probleem № 4

Toestand. Dana reëlmatige seshoekige piramide. Die kante van die basis gelyk aan 22 mm, die laterale kante - 61 mm. Wat is die oppervlakte van die laterale oppervlak van hierdie poliëder?

Besluit. Die redenasie in dit is dieselfde soos beskryf in die taak №2. Slegs die piramide is daar aan die vierkante op die basis, en nou is dit 'n heksagoon.

Die eerste stap is bereken deur die basis area van die bogenoemde formule ^{(6 * 22 2) / (} 4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Nou moet jy half-omtrek van 'n gelykbenige driehoek, wat is 'n newe-gesig te vind. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm 2 bly op formule Heron se na die gebied van elk van die driehoek te bereken, en dan vermenigvuldig dit met ses vou en die een wat uit draai na die basis.

Berekeninge op Heron se formule: √ (72 * (72-22) * (72-61) ²⁾ = √435600 = 660 cm ^2. 660 * 6 = 3960 cm ^2: die berekeninge wat laterale oppervlakte sal ^voorsien. Dit bly vir hulle optel om uit te vind die hele oppervlak: 5217,47≈5217 cm ^2.

Antwoord. Gronde - 726√3 cm ^2, die kant oppervlak - 3960 cm ^2, die hele gebied - 5217 cm ^2.